Jika \( \int_{-4}^{4} f(x) (\sin x+1) \ dx = 8 \), dengan \( f(x) \) fungsi genap dan \( \int_{-2}^4 f(x) \ dx = 4 \) maka \( \int_{-2}^0 f(x) \ dx = \cdots \)
(SBMPTN 2017)
Pembahasan:
Untuk mengerjakan soal ini, kita perlu mengingat bahwa fungsi ganjil adalah fungsi yang simetris terhadap titik asal atau O(0,0) dan berlaku \( f(-x)=-f(x) \). Selain itu, untuk fungsi ganjil juga berlaku \( \displaystyle \int_{-a}^a f(x) \ dx = 0 \). Sementara itu, untuk fungsi genap berlaku \( \displaystyle \int_{-a}^a f(x) \ dx = 2 \int_0^a f(x) \ dx \).
Dari soal diketahui bahwa:
Karena \(\sin x\) merupakan fungsi ganjil maka \( f(x) \sin x \) juga merupakan fungsi ganjil sehingga \( \displaystyle \int_{-4}^{4} f(x) \sin x \ dx = 0 \). Dengan demikian, diperoleh:
Dari soal diketahui bahwa
Jadi, \( \displaystyle \int_{-2}^0 f(x) \ dx = 0 \).
Jawaban A.